平面解析几何的基本思想（3）

           上次留的问题实际上涉及到的就是几何问题代数化的等价性的问题，也就是，按照解析几何的思想，如果用代数的方法研究几何问题的话，就要首先将其代数化，而这个代数化的形式也就必须是和几何对象的几何特征完全等价.如上次的问题，由于是不等边三角形，所以，首先要保证是三角形，故y不等于零，另外，如果顶点C落在y轴，则重心和外心就要重合于y轴，这就是等边三角形，与题意不符.所以，上一节的轨迹方程求出来之后，要加条件xy不等于0，这样的轨迹方程才与题意要求的完全等价.

      我们还是回到上一讲的问题中去，要将几何对象代数化，就要深入挖掘几何对象的几何特征，只有如此，才可以进行相应的代数化！如：双曲线x²/a²-y²/b²=1的右支上恰好有一点到双曲线的右焦点F和坐标原点O的距离相等，求双曲线的离心率.解决本题的关键是：“右支上恰好有一点到双曲线的右焦点F和坐标原点O的距离相等”这一几何特征你是如何来理解和认识的.实际上，我们仔细读这句话，就不难发现，满足题意的点不仅在双曲线的右支上，而且在线段OF的垂直平分线l上，即线段OF的垂直平分线与双曲线右支相交的两个点.哪么，双曲线的离心率e为什么要变化的？说明这种几何特征不是总是存在的，因此条件有一个“恰好”.由于e=c/a,我们可以让c不变，即F(c,0)是定点，我们改变a的大小，即双曲线的右顶点A(a,0)是动点.，我们将A沿x轴向右推，注意此时线段OF的中垂线l的位置不变，则一定在某种时候，双曲线的右顶点与直线l相切，此时，双曲线的右支上也就这个点到O和F距离相等，再往右推移顶点A(a,0)的话，就没有符合题意的点了.这样也就可以看：“右支上恰好有一点到双曲线的右焦点F和坐标原点O的距离相等”这一几何特征出是：双曲线的右顶点A(a,0)在中垂线的左侧.如设中垂线l与x轴相交于点M(c/2,0),则上述几何特征的代数化就是：a<c/2,也就是(c/a)>2,即e>2.