平面解析几何的基本思想（5）

思考题：点P在双曲线x²/16-y²/20=1上，F₁,F₂为双曲线的左右焦点，如果线段PF₁的长度等于9，求线段PF₂的长度.

   这道思考题考的就是看看你的解析几何的思维是否具备.如果仅仅以为这是一个简单的套套公式，由双曲线的定义：PF₁与PF₂差的绝对值等于2a=8的话，就会得出错误的答案：1和17.

     我在上一讲中说过，解析几何的思维特征一方面是洞察几何对象的几何特征并将其准确的代数化，另一方面，还要能够分析几何对象的代数形式的几何特征，能够从几何对象的代数结果中看出它的几何的特点.

    如本题，如果就是一个条件“点P在双曲线x²/16-y²/20=1上”，那点P的位置可能在双曲线的左支也可能在双曲线的右支.但是如果再加上“线段PF₁的长度等于9”这个条件，点P的位置就有可能发生变化，或者说就有可能确定出点P的位置了.事实上就是如此.我们做一分析：点P在双曲线的左支毫无悬念，关键是它是否能在双曲线的右支.因为在右支的点到F₁的最近距离是右支的顶点A₂到F₁的距离，而这个距离就是a+c=4+6=10,也就是说，右支上的点到F₁的最短的距离是10，因此，如果线段PF₁的长度等于9，那也就可以分析出点P的几何位置了，即P点在双曲线的左支，如此，PF₂的长度减去PF₁的长度等于8，故线段PF₂的长度为17.

      说明：因为已放暑假，如果没有特殊情况，我双日更新博客.