研究数列问题的基本方法（2）

  这一讲我们先谈谈研究数列的第一种方法，即研究通项a_n问题.这个问题一方面是如何求数列的通项，即对于特殊的数列如等差或等比数列，我们可以利用已有的结论求得通项a_n；另一方面，就是数列的通项a_n与其前n项和S_n的关系问题.

    数列的通项a_n与其前n项和S_n的关系是：（1）由S_n求数列的通项a_n.其关系是：当n=1时，S₁=a₁;当n>1时，a_n=S_n-S_n-1.这个关系表明，只要知道数列的前n项和S_n,就可以求出其通项a_n.如此，就可以进一步得到，研究数列的通项a_n，可以先研究这个数列的前n项和S_n,实际上，S_n也是数列，它由n唯一确定.如果S_n是等差数列或等比数列，那就可以先利用公式求出S_n，然后再利用通项a_n与其前n项和S_n的关系求出数列的通项a_n.

    例：已知数列a_n，a₁=-2,a_n+1=S_n,求数列的通项公式a_n.

     我们可以先用归纳法看看这是一个什么样的数列.a₁=-2,a₂=S₁=-2,a₃=S₂=-4,a₄=S₃=-8,......   故：该数列不是等差数列也不是等比数列，但从第二项起是等比数列.如果我们在看看数列S_n呢？S₁=-2,S₂=-4,S₃=-8,......，显然，数列S_n是等比数列，这样就为解决本题提供了方向.即对于条件a_n+1=S_n中的a_n+1转化为S_n+1-S_n,如此，有

S_n+1-S_n=S_n,也即是S_n+1=2S_n,故数列S_n是公比为2，首项S₁=a₁=-2的等比数列.因此，S_n=-2*2^n-1=-2ⁿ.之后，再利用通项a_n与其前n项和S_n的关系求出数列的通项a_n了.