研究数列问题的基本方法（3）

                   数列通项a_n与S_n关系的另一方面是由数列的第n项去求非等差或等比数列的前n项和S_n.如求和：1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+......+1/(1+2+3+...+n)，由于这不是特殊数列，无法用前n项和的公式去求S_n，我们就转而看这个数列的通项，即第n项.因为a_n=1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+)=2(1/n-1/(n+1)),如此，这个数列的前n项中的每一项都可以写成这个形式，则在前n项和中，相邻项正负抵消，结果就非常简单，即数列的前n项和S_n=2n/(n+1).实际上，许多非等差或等比数列的前n项和的解决，都是首先考查这个数列的通项，看看它具有什么样的特征，再采取相应的变形（如上个例子中，通项是分式的形式，分母是自然数列的前n项和可求）.再举个例子：如果数列的通项a_n=b_nc_n,其中数列b_n是等差数列，公差为d，数列c_n是等比数列，公比为q，那么我们都知道，在Sn=a₁+a₂+a₃+.....+a_n这个等式的两边同乘以q，再将原等式与乘完q的等式进行错位相减，就可以转化为等比数列的求和问题了.

        这里，我想同学们要明白：1）为什么要在Sn=a₁+a₂+a₃+.....+a_n这个等式的两边同乘以q？实际上，这个q是乘给等比数列c_n的，乘q的效果是将原等比数列的各项向后移了一位.2)为什么要错位相减？由于有了等比数列的各项向后移了一位，这样，原来的等式与乘完q的等式错位相减的效果就是等差数列bn后项减前项，结果就是公差d.

     记住一个方法不是重要的，关键是要理解这个方法的道理！