研究数列问题的基本方法（4）

   在研究数列的通项a_n与前n项和S_n的关系中，它们之间的相互转化是非常重要的数学思维，把题目中的a_n与S_n的关系转化为a_n还是S_n的依据就是在n大于等于2的前提下，a_n=S_n-S_n-1.而确定转化的方向，就要由题目的具体要求去做出你的判断.

    例如：在数列a_n中，首项a₁=1，a_n+1=(n+2)S_n/n,证明数列S_n/n是一等比数列.这是2004年全国一卷的一道高考题的第一问.从所要求证明的结论就很容易判断出，条件中的等式里的a_n+1要转化为与S_n有关的式子.即a_n+1=S_n+1-S_n,如此就能很顺利地解决这道题.可见，解题过程中的许多变形、变换都是有其内在的逻辑的，我们在解题的训练中要在这个方面有所思考，有所提炼和概括.

    为什么前面说：在n大于等于2的前提下，a_n=S_n-S_n-1体现出一种非常重要的数学思维呢？我再举一例：

     已知数列a_n满足a₁+a₂/2+a₃/3+.....+a_n/n=a²ⁿ-1,求数列的通项a_n.

    等式的左端就是一个数列的前n项和，只不过不是数列a_n的，而是数列a_n/n的前n项和.但如果利用^“在n大于等于2的前提下，a_n=S_n-S_n-1^”这一数学思维的话，我们可以求得数列a_n/n的通项，进而得到数列a_n的通项.详细过程就不洗写了，但千万不要忘记如此求出的通项公式只是对于n大于等于2的前提下才成立的，n=1是否还成立需要验证也必须要验证.